Uzdevumu krājums.

 

1.uzdevums. Uzrakstīt dotajai teorēmai pareizu apgriezto un pretējo teorēmu, ja tas iespējams.(Ja nepieciešams doto funkciju var pārrakstīt „ja..., tad” formā).

1) katram daudzstūrim var konstruēt līdzīgu daudzstūri;

2) kosinusa funkcija ir pāra funkcija;

3) ja slīpnes, kas vilktas no viena punkta pret doto taisni, ir vienādas, tad to

projekcijas ir vienādas;

4) ja trīsstūra īsāko malu kvadrātu summa ir vienāda ar garākās malas kvadrātu, tad tas ir taisnleņķa trīsstūris;

5) vienādsānu trīsstūra mediāna, kas vilkta pret atšķirīgo malu, ir arī augstums un

bisektrise;

6) trīsstūri ir vienlieli, ja tie ir vienādi;

 

 

2.uzdevums.Daudzpunktes vietā lieciet nepieciešams, pietiekams vai pietiekams un nepieciešams.

1) lai četrstūris būtu kvadrāts, ir .........., ka tas ir paralelograms;

2) lai izteiksme 3 - a vērtība būtu lielāka nekā2, ir .........., ka a ≥ 42;

3) lai izteiktu 3 + a vērtība būtu pozitīva, ir ......., ka a ir naturāls skaitlis

4) lai punkts atrastos vienādā attālumā no nogriežņa galapunktiem, ir ........, ka tas

atrodas uz šī nogriežņa vidusperpendikula;

5) lai reizinājums a.b būtu vienādas ar nulli, ir ......, ka a= 0;

6) lai naturāls skaitlis dalītos ar 5, ir ......, ka tā pēdējais cipars ir nulle;

7) lai slīpne būtu perpendikulāra taisnei plaknē, ir ....., ka tās projekcija ir

perpendikulāra šai taisnei plaknē;

8) lai skaitlis dalītos ar 72, ir ......., lai skaitlis dalās ar 8 un 9 reizē;

9) lai skaitļu reizinājums būtu vienādas ar nulli, ir ......, lai vismaz viens no

reizinātājs ir nulle;

10) lai caur trim punktiem plaknē varētu novilkt riņķa līniju, ir ...., lai punkti

neatrasos uz vienas taisnes;

 

 

3.uzdevums. Norādiet kura no dotajām ir definīcija, kura aksioma, kura teorēma.

1) caur jebkuriem diviem telpas punktiem var novilkt vienu vienīgu taisni;

2) par ģeometrisko progresiju sauc tādu skaitļu virkni, kurā attiecības starp nākošo un iepriekšējo locekli ir nemainīgas;

3) ja divi taisnes punkti pieder plaknei, tad visa taisne pieder plaknei;

4) plaknē caur punktu, kas neatrodas uz dotās taisnes, var novilkt tikai vienu taisni paralēli dotajai taisnei;

5) ja četrstūris ir rombs, tad četrstūra diagonāles ir perpendikulāras;

6) daudzstūrus, kuru kontūras pašas krustojas, sauc par zvaigžņveida daudzstūriem;

7) caur jebkuriem trim plaknes punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, var novilkt

vienu vienīgu plakni;

8) reizinājuma logaritms (pēc jebkuras bāzes) ir vienāds ar reizinātāju logoritmu

summu (pēc tās pašas bāzes). (log (ab) = log a + log b);

9) skaitļu sakārtojumu 1, 2, 3, 4, 5 utt. Sauc par naturālo skaitļu virkni;

10) ja dalāmo un dalītāju izdala ar vienu un to pašu skaitli, tad dalījums nemainās.

11) par trīsstūra bisektrisi sauc jebkura leņķa bisektrises nogriezni no trīsstūra

virsotnes līdz bisektrises krustpunktam ar trīsstūra pretējo malu;

12) ja divām plaknēm ir kopīgs punkts, tad tām ir kopīga taisne, uz kuras atrodas visi šo plakņu kopīgie punkti;

13) daudzskaldnis ir regulārs, ja visas tā skaldnes ir vienādi regulāri daudzstūri un

katrā virsotnē saiet viens un tas pats šķautņu skaits;

 

 

4.uzdevums. Pierādiet apgalvojumus ar tiešo pierādījuma shēmu.

1) Latvija ir demokrātiska valsts;

2) daži latviešu rakstnieki ir dramaturgi;

3) neeksistē tāds naturāls skaitlis, kura kvadrāts beidzas ar ciparu 7;

4) skaitlis 32 dalās ar 4 bez atlikuma;

5) jebkuru trīs pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu reizinājums dalās ar 6 bez atlikuma;

6) pierādīt, ka pārdevējs un pircējs varēs vienmēr norēķināties par pirkumu, ja preces cena ir vesels skaitlis, un ja pircējam un pārdevējam ir tikai 2 Ls un 5 Ls nomināli.

 

5.uzdevums. Pierādiet apgalvojumus ar netiešo pierādījuma veidu.

1) daži cilvēki mīl suņus;

2) Vācija ir federatīva valsts;

3) skaitlis 64 nedalās ar 6 bez atlikuma;

4) divu veselu skaitļu summa ir 2007, pierādīt, ka viens no skaitļiem nav mazāks par 1003;

5) pierādīt, ka katram trijstūrim vismaz viens leņķis nav mazāks par 600 ( ja nav

saprotams sākotnēji dotais apgalvojums, tad mēģiniet pierādīt apgalvojumu „ka

katram trīsstūrim vismaz viens leņķis ir 600 vai vairāk grādu liels”);

6) pierādīt, ka starp jebkuriem trīs sekojošiem skaitļiem a, a +2, a + 4, vienmēr ir

skaitlis, kas dalās ar 3.

 

6.uzdevums. Atspēkojiet apgalvojumus.

1) ir atļauts viss, kas ir patīkams;

2) visi cilvēki mīl kaķus;

3) skaitlis 34 dalās ar 5 bez atlikuma;

4) izteikta hipotēze, ja daudzstūrim visas malas vienādas, tad arī visi leņķi ir vienādi.

Vai hipotēze izpildās vienmēr?