Uzdevumu krājums.

Site:	Profesionālajā izglītībā iesaistīto vispārizglītojošo mācību priekšmetu pedagogu kompetences paaugstināšana
Course:	MateT006 : Skolēnam atvērts matemātikas mācību process profesionālajā izglītībā
Book:	Uzdevumu krājums.

Printed by:	Guest user
Date:	Friday, 26 April 2024, 6:12 AM

Description

Uzdevumi par spriedumiem un slēdzieniem.

Titullapa
1. Jēdzieni
2.1. Matemātiskie spriedumi.
2.2.Matemātiskie spriedumi
2.3. Matemātiskie spriedumi.
3.1. Izteikumi. Pierādījumi.
3.2. Izteikumi. Pierādījumi.
3.3. Pierādījums
4. Kopas
5. Matemātiskā loģika un sadzīve.

Titullapa

ESF + ES + IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ

Jānis Mencis

Matemātiskie izteikumi, pierādījumi.

Materiāls izstrādāts
ESF Darbības programmas 2007. - 2013.gadam „Cilvēkresursi un nodarbinātība”
prioritātes 1.2. „Izglītība un prasmes”
pasākuma 1.2.1.„Profesionālās izglītības un vispārējo prasmju attīstība”
aktivitātes 1.2.1.2. „Vispārējo zināšanu un prasmju uzlabošana”
apakšaktivitātes 1.2.1.1.2. „Profesionālajā izglītībā iesaistīto pedagogu
kompetences paaugstināšana”
Latvijas Universitātes realizētā projekta
„Profesionālajā izglītībā iesaistīto vispārizglītojošo mācību priekšmetu pedagogu
kompetences paaugstināšana”
(Vienošanās Nr.2009/0274/1DP/1.2.1.1.2/09/IPIA/VIAA/003,
LU reģistrācijas Nr.ESS2009/88) īstenošanai.

Rīga, 2010.

1. Jēdzieni

1.uzdevums. Kuros no gadījumiem ir minētas būtiskās īpašības? Papildināt, ja trūkst kāda būtiskā īpašība, vai norādīt uz nebūtisku īpašību.

Piemērs. Dots – skaitlis dalās ar 15 bez atlikuma– skaitlis dalās ar 5 bez atlikuma; skaitlis nav pirmskaitlis.

Trūkst īpašība – skaitlis vienlaikus dalās ar 3 un 5 bez atlikuma;

Nebūtiska īpašība – skaitlis nav pirmskaitlis.

1) paralēlas taisnes – taisnes atrodas vienā plaknē; tām nav kopīgu krustpunktu .

2) īstas daļas – tādas, kas uzrakstītas daļas veidā; tādas, kurām vienādi saucēji.

3) nevienādība – izteiksme, kurā izmanto nevienādības zīmi.

4) stars – būt taisnei, kas sākas (ir ierobežota) vienā punktā; būt bezgalīgi garai; tikt apzīmētai ar burtiem AB.

5) kubs – būt ar visām šķautnēm vienādām; visas skaldnes ir kvadrāti; skaldņu

diagonāles krustojoties dalās uz pusēm.

2.uzdevums. Norādiet jēdzienam vismaz vienu apakšklasi un vienu elementu.

Piemērs. Dots: a+b-ck=112 a,b,c,k pieder reāliem skaitļiem;

Apakšklase: a+b-ck=112 a,b,c,k pieder veseliem skaitļiem.

Elements: 100+24 -2.6=112

1) četrstūris

2) plaknes figūra

3) leņķis

4) skaitļi

5) trapece

3.uzdevums. Vispāriniet jēdzienu divas reizes.

Piemērs. Tetraedra tilpums – piramīdas tilpums – ķermeņa tilpums.

1) paralelograms

2) vienādība

3) apļa diagramma

4) matemātikas mācību grāmata

5) riņķa līnija

6) cipars 3

7) saskaitīšana

8) aksioma

9) cilindra sānu virsmas laukums

4.uzdevums. Ierobežojiet jēdzienu divas reizes.

Piemērs. Augstums – trīsstūra augstums – regulāra trīsstūra augstums;

1) algebra

2) grafiku pētīšana

3) teksta uzdevumi

4) trigonometrija

5) sakarības

6) lielākais kopīgais dalītājs

7) ātrums

8) prizmas tilpums

9) trapece

5.uzdevums. Jēdzienu attiecības attēlojiet apļu shēmās.

1) logaritmi(A) – eksponentes(B) – funkcijas(C);

2) kāpināšana (A) – matemātiska darbība (B)– reizināšana (C)– trijstūris(D);

3) 2007(A) - skaitlis, kas dalās ar 3 bez atlikuma(B) – skaitlis, kas dalās ar 6 bez

atlikuma(C);

4) skaitļi, kas reizē dalās ar 5 un 3 bez atlikuma(A) – skaitļi, kas dalās ar 15 bez

atlikuma (B)– skaitļi, kas dalās ar 2 bez atlikuma(C);

5) perpendikulāras taisnes (A) – paralēlas taisnes (B) – līnijas (C) - riņķa līnija (D);

6) skaitļi (S) – skaitļi, kas dalās ar 12 (D) – skaitļi, kas nedalās ar 12 (N) – skaitli,

kas dalās ar 4 (C);

7) uzdevums (A) – teksta uzdevums (B) – atrisināts uzdevums (C).

6. uzdevums. Veiciet jēdziena klašu loģisko saskaitīšanu, loģisko atņemšanu un loģisko reizināšanu attēlojot to ar apļu shēmām. Jēdzienu kārtību nemainīt!

1) dabas zinātne (D)– matemātika (M);

2) taisnstūris (T) – piramīda(P);

3) pārskaitļi (P) – skaitļi, kas dalās ar 7 (S);

4) trijstūris (T) – regulārs daudzstūris (R);

5) leņķis (L) – taisns leņķis (T);

7. uzdevums. Vai iedalīšana veikta pareizi? Atbildi pamatot!

1) naturāli skaitļi – veseli skaitļi – reāli skaitli;

2) riņķa laukums – riņķa laukums, kurš lielāks par 18 cm2 – riņķa laukums, kurš

mazāks par 18 cm2;

3) cilindrs – cilindrs ar tilpumu līdz 3 cm3 – cilindrs ar tilpumu no 3 cm3 līdz 10 cm3

– cilindrs, kura tilpums ir 10 cm3 un vairāk cm3;

4) taišņu novietojums plaknē: sakrītošas, paralēlas, perpendikulāras, krustiskas un

šķērsas taisnes;

5) vienādojumu sistēma - vienādojumu sistēmas pirmais vienādojums – vienādojumu sistēmas otrais vienādojums;

6) ģeometrija – planimetrija – stereometrija;

11. uzdevums. Vai definīcijas izveidotas pareizi?

1) nevienādību sauc par iracionālu, ja nezināmais atrodas zem saknes zīmes;

2) saskaitīšana ir dažādu lielumu saskaitīšana;

3) par leņķa bisektrisi sauc staru, kas dala leņķi divās vienādās daļās;

4) noslēgtu liektu līniju sauc par riņķa līniju;

5) par rombu sauc četrstūri, kurš nav ne kvadrāts, ne trapece, ne paralelograms;

6) par naturāliem skaitļiem sauc visus veselos pozitīvos skaitļus;

7) nevienādības sauc par ekvivalentām, ja to kopas ir vienādas;

8) plaknes figūras ir, piemēram, riņķa līnija, taisnstūris, piecstūris;

9) par prizmas augstumu mēdz saukt perpendikulu, kas novilkts no jebkura viena pamata plaknes punkta uz otra pamata plakni;

10) par lodi sauc rotācijas ķermeni, kas rodas pusaplim rotējot ap taisno malu;

11) taisnstūra laukums ir reizinājums.

12. uzdevums. Uzrakstīt definīcijas šādiem jēdzieniem.

1) daudzskaldnis;

2) viduslīnija;

3) planimetrija;

4) cirkulis;

5) grafiks.

2.1. Matemātiskie spriedumi.

10.klase

Uzdevums

Noteikt izteikuma patiesumu.(patiess vai nepatiess)

Ja vienādojumam ir 3 atšķirīgas saknes, tad tas ir kvadrātvienādojums.

__________________

Ja dāvana mammai maksā 2,40 Ls, tad par dāvanu var samaksāt ar desmit piecu santīmu monētām, desmit desmit santīmu monētām, desmit divu santīmu monētām, desmit viena santīma monētām un piecām divdesmit santīmu monētām.

__________________

Romba un kvadrāta pretējo leņķu summa ir vienāda.

__________________

Trijstūra laukumu var aprēķināt pēc formulas (a²√3)/4, tad un tikai tad, ja visas tā malas ir vienādas.

__________________

Ne katrs trijstūris ir ievelkams riņķa līnijā.

__________________

2.2.Matemātiskie spriedumi

1. Nosaki, vai izteikums ir patiess, vai – aplams:

a) Ķīna ir Eiropas Savienības dalībvalsts.

b) Latvijai ir sauszemes robeža ar četrām valstīm.

c) Skaitlis 81 ir pāra skaitlis.

2. Dota teorēma: Ja daudzstūris ir trijstūris, tad tā iekšējo leņķu summa ir 180°.

Uzrakstīt šai teorēmai apgriezto un pretējo teorēmu!

3. Jānis Bērziņš ar ģimeni devās iepirkties. Bērziņi iepirkās 3 dažādos veikalos – “Rimi”, “Maxima” un “Elvi”.

Maisā R atrodas tie pārtikas produkti, kurus ģimene iegādājās veikalā “Rimi”, maisā M atrodas tie pārtikas produkti, kuru Bērziņi iegādājās veikalā “Maxima”, bet maisā E – tie produkti, kurus ģimene iegādājās veikalā “Elvi”.

R = {āboli, bumbieri, kartupeļi, piens}

M = {dzeramais ūdens, burkāni, bietes, kartupeļi, sinepes}

E = {konfektes, saldējums, apelsīnu sula, cukurs, sāls, āboli}

1) Atrodi tos pārtikas produktus, kurus ģimene iegādājās gan veikalā “Rimi”, gan – “Maxima”(kopu R un M šķēlums – RÇM).

2) Uzskaiti visus produktus, kurus ģimene iegādājās (kopu R, M un E apvienojums – RÈMÈE).

3) Atrodi tos produktus, kuri Bērziņi iegādājās veikalā “Maxima”, bet neiegādājās veikalā “Rimi” (kopu B un A starpība – B\A).

2.3. Matemātiskie spriedumi.

1.uzdevums. Kuri no izteikumiem izsaka un kuri neizsaka spriedumu? Atbildi pamatojiet.

1) vienādsānu trijstūris;

2) ja trijstūra malu garumi ir 3 un 4 cm, tad tas ir taisnleņķa trijstūris;

3) dažas funkcijas ir elementāras funkcijas;

4) rēķini nu!

5) skaitlis 2 ir pirmskaitlis;

6) pierādīt pazīmi;

7) visi rombi ir kvadrāti.

2.uzdevums. No spriedumu terminiem veidojiet iespējamos patiesos spriedumus. Attēlojiet apļu shēmās.

Piemērs. Dots: Bisektrise (P), mediāna (S).

Spriedumi: Dažas mediānas (S) ir bisektrises (P).

Dažas mediānas (S) nav bisektrises (P).

1) skaitlis (S), daļskaitlis (P);

2) elementāras funkcijas (S), salikta funkcija (P);

3) trijstūra augstums (P), trijstūra mediāna (S);

4) iracionāls skaitlis (P), racionāls skaitlis(S);

3.1. Izteikumi. Pierādījumi.

2.Variants

1.(6) Aizpildi tabulu

Kopa	Galīga	Bezgalīga	Tukša	Pamatojums
A={ x;y;z}
B=( -2;2)
C={x/x negatīvie naturālie skaitļi}

2.(6) Dotas kopas A un B. Nosaki A B; A B un A\ B.

a) A= {3;4 } B= {3;4;5}

A un B________________ A vai B__________________A \ B_________________

b) A=[3;10) B=(13;20)

Aun B_____________ A vai B____________________A\B____________________

3.(2) Nosaki vai apgalvojumi i izteikumi

23 ir pāra skaitlis Jā Nē

Pasākumā daudz dalībnieku Jā Nē

4.(4) Doti izteikumi A: „Spīd saule” un B: „Klase brauks ekskursijā”. Uzraksti

A vai B_____________________________________________________

A un B_____________________________________________________

Ne A _____________________________________________________

A tad un tikai tad, ja B___________________________________________

5.(2) Nosaki, vai izteikumi patiesi

Lineāra funkcija ir augoša funkcija Patiess Aplams

Ja figūra ir taisnes daļa, tad tas ir nogrieznis Patiess Aplams

6.(6) Dota teorēma: „Ja skaitlis dalās ar 5, tad tā pēdējais cipars ir 0^”. Uzraksti apgriezto teorēmu, pretējo teorēmu un „A ir tad un tikai tad, ja B”.

Novērtē izveidoto teorēmu patiesumu.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. (5)Ja taisne krusto vienu no divām paralēlām taisnēm, tad tā krusto arī otru taisni. Pierādi apgalvojumu, izmantojot pierādījumu no pretējā.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2. Izteikumi. Pierādījumi.

1. Variants

1.(6) Aizpildi tabulu

Kopa	Galīga	Bezgalīga	Tukša	Pamatojums
A={ k;l;m}
B=[ -4;4]
C={a/a-pirmskaitlis}

2.(6) Dotas kopas A un B. Nosaki A B; A B un A\ B.

a) A= {1;2 } B= {1;2;3}

A B________________ A B___________________ A \ B___________________

b) A=[-1;5) B=[-5;1)

A B________________A B____________________A\B____________________

3.(2) Nosaki vai apgalvojumi i izteikumi

33 ir pirmskaitlis Jā Nē

Skolā ir daudz datoru Jā Nē

4.(4) Doti izteikumi A: „Līst lietus” un B: „Būs laba raža”. Uzraksti

A vai B_____________________________________________________

A un B_____________________________________________________

Ne A _____________________________________________________

A tad un tikai tad, ja B___________________________________________

5.(2) Nosaki, vai izteikumi patiesi

Kvadrātfunkcija ir augoša funkcija Patiess Aplams

Ja AC=CB, tad C ir nogriežņa AB viduspunkts Patiess Aplams

6.(6) Dota teorēma: „Ja daudzstūris ir piecstūris, tad tā iekšējo leņķu summa ir 540^0”. Uzraksti apgriezto teorēmu, pretējo teorēmu un „A ir tad un tikai tad, ja B”.

Novērtē izveidoto teorēmu patiesumu.

7. (5) Ja x=, tad (2+x)/ (2-x)= 3+2. Pierādi, izmantojot tiešo pierādījumu.

3.3. Pierādījums

1.uzdevums. Uzrakstīt dotajai teorēmai pareizu apgriezto un pretējo teorēmu, ja tas iespējams.(Ja nepieciešams doto funkciju var pārrakstīt „ja..., tad” formā).

1) katram daudzstūrim var konstruēt līdzīgu daudzstūri;

2) kosinusa funkcija ir pāra funkcija;

3) ja slīpnes, kas vilktas no viena punkta pret doto taisni, ir vienādas, tad to

projekcijas ir vienādas;

4) ja trīsstūra īsāko malu kvadrātu summa ir vienāda ar garākās malas kvadrātu, tad tas ir taisnleņķa trīsstūris;

5) vienādsānu trīsstūra mediāna, kas vilkta pret atšķirīgo malu, ir arī augstums un

bisektrise;

6) trīsstūri ir vienlieli, ja tie ir vienādi;

2.uzdevums.Daudzpunktes vietā lieciet nepieciešams, pietiekams vai pietiekams un nepieciešams.

1) lai četrstūris būtu kvadrāts, ir .........., ka tas ir paralelograms;

2) lai izteiksme 3 - a vērtība būtu lielāka nekā2, ir .........., ka a ≥ 42;

3) lai izteiktu 3 + a vērtība būtu pozitīva, ir ......., ka a ir naturāls skaitlis

4) lai punkts atrastos vienādā attālumā no nogriežņa galapunktiem, ir ........, ka tas

atrodas uz šī nogriežņa vidusperpendikula;

5) lai reizinājums a.b būtu vienādas ar nulli, ir ......, ka a= 0;

6) lai naturāls skaitlis dalītos ar 5, ir ......, ka tā pēdējais cipars ir nulle;

7) lai slīpne būtu perpendikulāra taisnei plaknē, ir ....., ka tās projekcija ir

perpendikulāra šai taisnei plaknē;

8) lai skaitlis dalītos ar 72, ir ......., lai skaitlis dalās ar 8 un 9 reizē;

9) lai skaitļu reizinājums būtu vienādas ar nulli, ir ......, lai vismaz viens no

reizinātājs ir nulle;

10) lai caur trim punktiem plaknē varētu novilkt riņķa līniju, ir ...., lai punkti

neatrasos uz vienas taisnes;

3.uzdevums. Norādiet kura no dotajām ir definīcija, kura aksioma, kura teorēma.

1) caur jebkuriem diviem telpas punktiem var novilkt vienu vienīgu taisni;

2) par ģeometrisko progresiju sauc tādu skaitļu virkni, kurā attiecības starp nākošo un iepriekšējo locekli ir nemainīgas;

3) ja divi taisnes punkti pieder plaknei, tad visa taisne pieder plaknei;

4) plaknē caur punktu, kas neatrodas uz dotās taisnes, var novilkt tikai vienu taisni paralēli dotajai taisnei;

5) ja četrstūris ir rombs, tad četrstūra diagonāles ir perpendikulāras;

6) daudzstūrus, kuru kontūras pašas krustojas, sauc par zvaigžņveida daudzstūriem;

7) caur jebkuriem trim plaknes punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, var novilkt

vienu vienīgu plakni;

8) reizinājuma logaritms (pēc jebkuras bāzes) ir vienāds ar reizinātāju logoritmu

summu (pēc tās pašas bāzes). (log (ab) = log a + log b);

9) skaitļu sakārtojumu 1, 2, 3, 4, 5 utt. Sauc par naturālo skaitļu virkni;

10) ja dalāmo un dalītāju izdala ar vienu un to pašu skaitli, tad dalījums nemainās.

11) par trīsstūra bisektrisi sauc jebkura leņķa bisektrises nogriezni no trīsstūra

virsotnes līdz bisektrises krustpunktam ar trīsstūra pretējo malu;

12) ja divām plaknēm ir kopīgs punkts, tad tām ir kopīga taisne, uz kuras atrodas visi šo plakņu kopīgie punkti;

13) daudzskaldnis ir regulārs, ja visas tā skaldnes ir vienādi regulāri daudzstūri un

katrā virsotnē saiet viens un tas pats šķautņu skaits;

4.uzdevums. Pierādiet apgalvojumus ar tiešo pierādījuma shēmu.

1) Latvija ir demokrātiska valsts;

2) daži latviešu rakstnieki ir dramaturgi;

3) neeksistē tāds naturāls skaitlis, kura kvadrāts beidzas ar ciparu 7;

4) skaitlis 32 dalās ar 4 bez atlikuma;

5) jebkuru trīs pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu reizinājums dalās ar 6 bez atlikuma;

6) pierādīt, ka pārdevējs un pircējs varēs vienmēr norēķināties par pirkumu, ja preces cena ir vesels skaitlis, un ja pircējam un pārdevējam ir tikai 2 Ls un 5 Ls nomināli.

5.uzdevums. Pierādiet apgalvojumus ar netiešo pierādījuma veidu.

1) daži cilvēki mīl suņus;

2) Vācija ir federatīva valsts;

3) skaitlis 64 nedalās ar 6 bez atlikuma;

4) divu veselu skaitļu summa ir 2007, pierādīt, ka viens no skaitļiem nav mazāks par 1003;

5) pierādīt, ka katram trijstūrim vismaz viens leņķis nav mazāks par 600 ( ja nav

saprotams sākotnēji dotais apgalvojums, tad mēģiniet pierādīt apgalvojumu „ka

katram trīsstūrim vismaz viens leņķis ir 600 vai vairāk grādu liels”);

6) pierādīt, ka starp jebkuriem trīs sekojošiem skaitļiem a, a +2, a + 4, vienmēr ir

skaitlis, kas dalās ar 3.

6.uzdevums. Atspēkojiet apgalvojumus.

1) ir atļauts viss, kas ir patīkams;

2) visi cilvēki mīl kaķus;

3) skaitlis 34 dalās ar 5 bez atlikuma;

4) izteikta hipotēze, ja daudzstūrim visas malas vienādas, tad arī visi leņķi ir vienādi.

Vai hipotēze izpildās vienmēr?

4. Kopas

Kopas A elementi ir 3, 4, 9, 6, bet kopas B elementi ir 8, 4, 2, 9.

A={ , , , }

B={ , , , }

Atbidi uz jautājumiem!

Ja kopa C={2,3,4,6,8,9}, tad to izsaka sakarība:

Ja kopa C={3,6} , tad to izsaka sakarība:

Ja kopa C={4,9}, tad to izsaka sakarība:

Ja kopa C={8,2}, tad to izsaka sakarība:

Jānim ir kartītes:	2	7	9	3	4

Pēterim ir kartītes:	7	3	8	1	2	9

J={ , , , , }

P={ , , , , , }

5. Matemātiskā loģika un sadzīve.

Uzdevums

Savieno piemēru ar atbilstošu jēdzienu.

1.Skola kopā ar skolēniem 1. kopas starpība

2. 10. klases matemātikas grāmata bibliotēkā 2. kopas apvienojums

3. 5 burtnīcas un 1 pildspalva 3. apakškopa

4. 2. stāvas kabinets 4. kopa

5. 4.b klases zēni 5. kopas šķēlums

6. 12.a klase, kura mācās 25 skolēni (attiecībā pret skolu ) 6.kopas elements

Uzraksti katram jēdzienam vienu savu piemēru no dzīves:

Kopa - .................................................................................................................................

Apakškopa - ........................................................................................................................

Kopas elements - .................................................................................................................

Piederība () - ...................................................................................................................

Kopas apvienojums -...........................................................................................................

Kopas šķēlums - ..................................................................................................................

Uzdevumu krājums.

Description

Table of contents

Titullapa

Matemātiskie izteikumi, pierādījumi.

1. Jēdzieni

2.1. Matemātiskie spriedumi.

2.2.Matemātiskie spriedumi

2.3. Matemātiskie spriedumi.

3.1. Izteikumi. Pierādījumi.

3.2. Izteikumi. Pierādījumi.

3.3. Pierādījums

4. Kopas

5. Matemātiskā loģika un sadzīve.