Spriedumi un pierādījumi. Teorija.

Lai teorēmu pierādītu, vispirms pareizi un precīzi jāsaprot tās formulējums. Nereti

teorēmu ērtāk pierādīt nevis dotajā formulējumā, bet kādā citā, pēc satura ekvivalentā formulējuma variantā.

Bieži teorēmas tiek formulētas kā implikācijas, jeb ar „ja..., tad” palīdzību. Piemēram: „ja abi saskaitāmie ir pārskaitļi, tad summa ir pārskaitlis.”

Dažreiz teorēmas formulējumā nav atrodami vārdi „ja- tad”. Teorēmu vienmēr var

pārfrāzēt tā, lai šie vārdi parādītos. Tā, piemēram, Pitagora teorēmas formulējumu „taisnleņķa trīsstūrī katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu” var formulēt arī šādu: „ja trīsstūra viens leņķis ir taisns, tad tā katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu.”

 

Ir vairāki veidi kā var pierādīt, ka kāda pazīme izpildās visiem klases elementiem:

a) var pārbaudīt katru elementu atsevišķi. Šī metode ir lietderīga, ja pārbaudāmo elementu skaits ir mazs. Piemēram, „cik no šādi pierakstītiem 2n-1 skaitļiem ir pirmskaitļi, ja n<7, n -vesels”, tātad var uzrakstīt 7 izteiksmes un katru izpētīt, tādā veidā noskaidrojot vai starp šiem skaitļiem ir kāds pirmskaitlis vai nav. Savukārt, ja 2n-1 jāpārbauda visiem reāliem n, tad

pārbaudīt katru elementu nav lietderīgi un tas nemaz nav iespējams;

b) var sadalīt elementus sev izdevīgās grupās un tad pierādīt pa grupām apgalvojumu. Ja visām grupām dotais apgalvojums ir spēkā, tad pierādījums attiecas uz visiem klases elementiem.

 

 

 

 

„vai eksistē tāds skaitlis, kura kvadrāts beidzas ar ciparu 2?” visus skaitļus var sadalīt 10 grupās, proti, tie, kas beidzas ar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Atliek pārbaudīt visas 10 grupas. Tātad, ja naturāls skaitlis beidzas ar ciparu 1, tad tā kvadrāts arī beidzas ar ciparu 1. Skaitlis, kurš beidzas 2, tā kvadrāts

beigsies ar 4. un tādā veidā pārbauda visas 10 grupas. Redzam, ka nevienā no gadījumiem skaitļa kvadrāts nebeidzas ar 2. Šādi sagrupējot visus skaitļus10 grupās esam pierādījuši, ka starp naturāliem skaitļiem nav neviena tāda, kura kvadrāts beigtos ar ciparu 2 ( kaut gan tieši visus skaitļus neesam aplūkojuši) ;

c) pierādīt apgalvojuma patiesumu viesiem klases elementiem uzreiz. Piemēram, „kubam visas skaldnes vienādas” zinot to, ka kubam ir sešas skaldnes. Skaldnes ir kvadrāti. Kvadrātam visas malas vienādas, tad arī kubam visa skaldnes vienādas. Pierādīšanai izmantotas īpašības un pazīmes, kas ir spēkā pilnīgi visiem kubiem.

Svarīgi ir , lai, pierādot „katram” – tipa apgalvojumu, būtu pierādīti pilnīgi visi atsevišķie apgalvojumi, no kuriem tas sastāv: nav svarīgi, vai tie pierādīti katrs atsevišķi, sadalot pa grupām, vai visi reizē.

 

 Eksistences apgalvojumi jeb „eksistē” – tipa apgalvojumi. Šie apgalvojumi izsaka

pazīmi, kas piemīt vismaz vienam no klases elementiem, bet tikpat labi šī pazīme var izpildīties vairākiem vai pat visiem klases elementiem. Piemēram, „eksistē tāds naturāls divciparu skaitlis, kas dalās ar 7”. Uzreiz iedomājamies, ka 14 dalās ar 7 , arī 21 dalās ar 7, varbūt vēl ir kāds tāds skaitlis, bet tagad mēs varam droši teikt, ka vismaz viens tāds ir.

.Eksistences apgalvojuma pierādīšanai pietiek atrast vienu atbilstošu elementu, kas apmierina doto pazīmi. Netiek prasīts uzrādīt cik un vai vispār ir vēl tādi elementi, kas apmierina

doto pazīmi.

 

Matemātikā pierādījumi no pretējā jeb apagoģiskie pierādījumi līdzīgi kā klasiskajā loģikā balstās uz trešā izslēgtā likumu: katram apgalvojumam ir spēkā vai nu pats apgalvojums, vai tā noliegums.