Spriedumi un pierādījumi. Teorija.

Site:	Profesionālajā izglītībā iesaistīto vispārizglītojošo mācību priekšmetu pedagogu kompetences paaugstināšana
Course:	MateT006 : Skolēnam atvērts matemātikas mācību process profesionālajā izglītībā
Book:	Spriedumi un pierādījumi. Teorija.

Printed by:	Guest user
Date:	Thursday, 21 November 2024, 12:19 PM

Description

Temata teorijas izklāsts.

Titullapa
1. Jēdziens.
1.1. Priekšmeta īpašības un pazīmes
1.2. Jēdziena definēšana
1.3. Definēšanas kārtulas
2. Spriedumi.
3. Slēdzieni.
3.1. Slēdzienu veidi.
3.2. Loģikas pamatlikumi.
4. Pierādījums.
4.1. Pierādījumu veidi.
4.2. Kādai jābūt pierādījuma demonstrācijai?
5. Matemātiskais pierādījums.
5.1. Aksioma
5.2. Teorēma.
5.3. Pierādīšana.

Titullapa

ESF + ES + IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ

Jānis Mencis

Matemātiskie izteikumi, pierādījumi

Materiāls izstrādāts
ESF Darbības programmas 2007. - 2013.gadam „Cilvēkresursi un nodarbinātība”
prioritātes 1.2. „Izglītība un prasmes”
pasākuma 1.2.1.„Profesionālās izglītības un vispārējo prasmju attīstība”
aktivitātes 1.2.1.2. „Vispārējo zināšanu un prasmju uzlabošana”
apakšaktivitātes 1.2.1.1.2. „Profesionālajā izglītībā iesaistīto pedagogu
kompetences paaugstināšana”
Latvijas Universitātes realizētā projekta
„Profesionālajā izglītībā iesaistīto vispārizglītojošo mācību priekšmetu pedagogu
kompetences paaugstināšana”
(Vienošanās Nr.2009/0274/1DP/1.2.1.1.2/09/IPIA/VIAA/003,
LU reģistrācijas Nr.ESS2009/88) īstenošanai.

Rīga, 2010.

1. Jēdziens.

1.1. Priekšmeta īpašības un pazīmes

Lai atbildētu uz šo jautājumu, jānoskaidro, kas ir priekšmeta īpašības un pazīmes.

Katram priekšmetam piemīt vairākas īpašības jeb pazīmes. Jāņem vērā, ka ar priekšmetu loģikā saprot visu, par ko var domāt. Piemēram, mēs domājam par naudu, ēdienu, kvadrātu, Pitagora teorēmu, ekoloģiju, naidu un mīlestību, to visu loģikā uzskata par priekšmetu.

Pazīmes (īpašības) ir tas, ar ko priekšmets līdzinās vai atšķiras no citiem. Piemēram, liels, mazs, garš, tāpat arī būt ar vienādām malām, būt paralēlam utt.

Pazīmju skaits ir atkarīgs no priekšmeta sarežģītības. Piemēram, „pirmskaitlim ir divas pazīmes: dalīties pašam ar sevi un dalīties ar viens.”.

Jebkura priekšmeta pazīmju kopums ir sadalāms divās lielās grupās: būtiskās un nebūtiskās pazīmēs.

Būtiskas pazīmes raksturo priekšmeta kvalitatīvu noteiktību. Tās ir pazīmes, kas ir nepieciešamas attiecīgajā kontekstā, bet ar tām pietiek, lai raksturotu priekšmetu. Piemēram, kvadrāts ir taisnstūris, kam visas malas vienādas. Šajā gadījumā ir divas būtiskas pazīmes:

1) malas ir vienādas un nav svarīgi, cik garas;

2) tas ir taisnstūris jeb četrstūris, kam visi leņķi ir 90 grādi.

Priekšmets, palikdams tas pats, nevar zaudēt savas būtiskās pazīmes. Un otrādi - ja ir zaudēta kāda no būtiskajām pazīmēm, tad tas jau ir cits priekšmets. Ja, aplūkojot iepriekšējo piemēru par kvadrātu, tiek pazaudēta pazīme būt taisnstūrim, tad šī figūra var būt arī rombs.

Atšķirībā no būtiskajām pazīmēm nebūtiskās pazīmes nav obligātas visiem

vienveidīgajiem priekšmetiem. Tās var būt, bet var arī nebūt. Piemēram, lai konstatētu, ka figūra ir taisnstūris, nav svarīgi malu garumi. Svarīgs ir tikai fakts, ka visi leņķi ir 90 grādu lieli.

Noteiktos apstākļos nebūtiskās pazīmes var kļūt būtiskas un otrādi. Tā piemēram, cilvēku iedalīšana pēc apavu izmēriem zobārstam ir mazsvarīga, bet apavu firmas direktoram tā ir ļoti būtiska.

Def. Jēdziens ir domāšanas forma, kas atspoguļo priekšmetus un parādības pēc to būtiskajām pazīmēm.

Būtiskās pazīmes raksturo priekšmeta galveno saturu.

1.2. Jēdziena definēšana

Def. Formulējumu, kas precīzi paskaidro kāda jēdziena nozīmi, izmantojot jau pazīstamus jēdzienu, sauc par tā definīciju.

Def. Jēdziena definēšana ir tā satura atklāšana, nosaucot jēdzienam raksturīgās pazīmes.

Definēšanas rezultāts ir definīcija. Piemēram, jēdziena „riņķa līnija” definēšanas rezultātā iegūstam šādu definīciju: „Riņķa līnija ir visu to plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no sākumā dotā punkta (centra).”

Tātad definēšana ir definīciju izveidošana. Tā ir jēdziena precīzas robežas noteikšana, kas doto jēdzienu atšķir no visiem pārējiem jēdzieniem.

Piemērs. Plaknes figūra, kuru veido vairāku noslēgtu taisnu nogriežņu

virkne, sauc par daudzstūri. Šajā definīcijā definējamais jēdziens ir „daudzstūris” un definētājs jēdziens ir „plaknes figūra, kuru veido vairāku noslēgtu taisnu nogriežņu virkne.”

Definīcijas, kas veidotas pēc šāda

principa mēdz saukt par klasiskām definīcijām.

1.3. Definēšanas kārtulas

Definīcijai jābūt skaidrai un saprotamai. Lai definīcija būtu skaidra, tās definētājam

jēdzienam jābūt pēc iespējas lakoniskākam. Jāizvairās no nebūtiskām pazīmēm. Piemēram, definīcija „bioloģija ir zinātņu kopums par dzīvību” ir pietiekami lakoniska un izsaka savu galveno būtību. Skaidrai definīcijai ir vēl viena svarīga prasība: definētājam jēdzienam jānorāda uz pazīmēm, kuras vairs nav jādefinē. Pretējā gadījumā rodas kļūda „izskaidro neskaidro ar neskaidro”. Piemēram, definīcija „rādiuss ir puse no diametra” būs skaidra tikai tiem, kam ir priekšstats par diametru.

Jebkuras definīcijas efektivitāte ir atkarīga no personas zināšanu līmeņa, kam definīcija domāta. Ja zināšanas sliktas, tad nāksies paskaidrot arī definētāja jēdzienus.

Definīcijā nedrīkst veidoties aplis. Definētāja jēdziena saturam jābūt skaidram bez

definējamā jēdziena izmantošanas. Raksturīgs piemērs: „Nolaidība ir nolaidīga attieksme pret saviem pienākumiem.”

Definīcija pēc iespējas nedrīkst būt noliedzoša. Kārtula nosaka, ka definētāja jēdzienā jāuzrāda pazīmes, kas piemīt definējamajam jēdzienam, un nevis jāuzskaita pazīmes, kuru tam nav. Piemērs „cilvēks nav augs” vai „matemātika nav humanitārs priekšmets” kaut kādu informāciju par interesējošo priekšmetu esam guvuši, bet tas tomēr nedod skaidru priekšstatu par to, kas ir „cilvēks” vai „matemātika”.

Noliedzošas definīcijas mēdz būt noliedzoša rakstura jēdzieniem. Piemēram, „Nesalaužams ir

tāds, kuru nav iespējam mazināt, bojāt, pakļaut cita ietekmei.” Redzam, ka „nesalaužams” ir noliegums no jēdziena „salaužams” un tāpēc arī definētājs jēdziens satur noliedzošu frāzi „nav iespējams”.

Jēdzienu definēšana ir ļoti komplicēta lieta, bet ne katrā situācijā tā ir nepieciešama. Reizēm lietderīgāk ir izmantot definēšanai līdzīgu paņēmienu (izskaidrošanu). Ir daudz tādu jēdzienu, kurus nav iespējams precīzi definēt, jo tie ir pārāk abstrakti, piemēram, Dievs, mīlestība, bezgalība un daudzi citi. Katram no šiem jēdzieniem ir vairākas definīcijas, bet neviena no tām tā

īsti neatbilst loģikas prasībām. Var lietot:

1) izskaidrojumu aprakstot. Piemēram, „sniegs ir balta kristāliska viela, kas ziemā krīt no debesīm.”

2)izskaidrojumu ar uzskaitījumu – jēdziena atsevišķu elementu vai apakšklašu uzskaitīšana.

Piemēram, „rakstāmpiederumi ir pildspalvas, zīmuļi, flomāsteri” vai „aritmētiskās darbības ir saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana”.

3) izskaidrojumu salīdzinot – jēdziena izskaidrošana ar cita skaidrāka jēdziena palīdzību. Piemēram, „zebra ir zirgs ar svītrām” vai „plikpauris ir cilvēks bez matiem.”.

4) ostensīvo definēšanu – priekšmetu nosaukšanu, tos demonstrējot. Tātad, piemēram, jaunā māte tur rokās karoti un savam mazajam bērniņam saka un rāda „tā ir karote”, pēc tam bērns visus līdzīgos priekšmetus sauc par karotēm. Šāds skaidrojums ir efektīvs, lai gūtu elementāru priekšstatu par jēdzienu. Bieži izmantojams svešvalodu un jaunu tehniku apguvei. Arī attēli mācību un rokasgrāmatās pilda ostensīvās definīcijas funkciju.

2. Spriedumi.

Def. Spriedums ir domāšanas forma, kas apgalvojuma vai nolieguma veidā izsaka priekšmetu un to pazīmju sakarības vai attieksmi pret priekšmetiem.

Spriedums ir tāds jēdzienu savienojums, kurā tiek apgalvots kaut kas patiess vai aplams par priekšmetisko situāciju. Tas ir patiess, ja tā saturs atbilst īstenībai, bet aplams, ja - neatbilsts.

Tātad sprieduma būtiskā īpašība ir patiesuma vērtība.

Sprieduma izteiksmes forma ir stāstījuma teikums. Tomēr spriedumu neizsaka bezjēdzīgi teikumi, piemēram, „trigonometrija smaržo pēc ceriņiem.” Šis teikums neizsaka spriedumu, jo tas nav ne patiess, ne aplams. Savukārt teikums „Matemātika māca par daļu saskaitīšanu” izsaka

spriedumu, kura patiesuma vērtība ir patiesa. Turpretī teikums „Pilngadība sākas no 30 gadu vecuma” ir aplams spriedums.

Spriedumu neizsaka ar pamudinājuma un jautājuma teikumiem, jo tiem nav patiesuma vērtības. Kā redzam šādos piemēros par priekšmetu nekas netiek ne apgalvots, ne noliegts „Cik maksā piens?” vai „Risini galvā!”

Spriedumus var iedalīt:

1)vispārējs spriedums - predikāts attiecas uz visu subjekta apjomu. Vispārējs spriedums var būt kā apgalvojošs, tā arī noliedzošs. Piemēram, „visi kvadrāti ir taisnstūri”. Līdz ar vārdiem „visi”, „neviens” kvantoru lomā vispārējos spriedumos izmanto arī loģiskos terminus „ikviens”, „jebkurš”, „tikai”, „katrs” un citus. Piemēram, „jebkuru taisni var novilkt caur diviem punktiem”.

2) daļējs spriedums - predikāts attiecas tikai uz subjekta apjoma daļu. Arī daļējie

spriedumi var būt kā apgalvojoši, tā noliedzoši. Piemēram, „daži putni neprot lidot”.

Līdz ar vārdu „daži” kvantoru lomā mēdz lietot arī terminus „daudzi”, „vairāki”,

„parasti”, „galvenokārt” un citus, piemēram, „daudzos gadījumos dalīšana ir tas pats, kas reizināšana ar apgrieztu skaitli” (reālo skaitļu gadījumā teiktais izpildīsies, bet naturālos un veselos skaitļos apgrieztā skaitļa nav). Arī šāda tipa spriedumi pieder pie daļējiem: „ne visi putni skaisti dzied”; „skaitlis var dalīties ar 7” (līdzvērtīgs spriedumam „daži skaitļi dalās ar 7”).

3. Slēdzieni.

Noteikts spriedumu savirknējums ļauj secināt jaunu spriedumu. Tādu

loģikas konstrukciju sauca par slēdzienu.

Def. Slēdziens ir domāšanas forma, ar kuru no viena vai vairākiem dotiem patiesiem spriedumiem tiek iegūts jauns spriedums.

Sākotnējos spriedumus, uz kuriem balstās slēdziens sauc par premisām. Jauniegūto spriedumu sauc par gala spriedumu jeb secinājumu.

3.1. Slēdzienu veidi.

Pēc secinājuma rakstura un īpatnībām izšķir trīs slēdzienu veidus:

1) deduktīvie slēdzieni

2) induktīvie slēdzieni

3) slēdzieni pēc analoģijas.

Neapšaubāmos jeb deduktīvos slēdzienos no lielākas vispārīguma pakāpes zināšanām virzās uz mazākas vispārīguma pakāpes zināšanām. Virzās no vispārējā uz atsevišķo

Varbūtīgos jeb induktīvos slēdzienos no vairākiem dotiem atsevišķiem spriedumiem tiek iegūst gala spriedums, kurš ir vispārīgs spriedums. Induktīvs slēdziens dod hipotēzi, kuru pārbauda ar citiem paņēmieniem. Induktīvs slēdziens ir vispārināšana no atsevišķā un vispārējo.

Līdzības (atbilstības) jeb analoģijas slēdzieni ir īpaši slēdziena paveidi, kurus bieži skaidro kā induktīvos slēdzienus. Analoģija saka, ja divi priekšmeti ir līdzīgi pēc vienām pazīmēm, tad var secināt, ka tiem jābūt līdzīgiem arī pēc citām pazīmēm. Analoģija ir vispārināšana no atsevišķā uz atsevišķo, iegūtais slēdziens ir vispārēja rakstura.

Katra jauna sprieduma ieguve slēdziena ceļā ir sarežģīts loģisks (daļēji arī psiholoģisks) process. Tomēr tajā var izdalīt tā sauktos loģikas pamatlikumus.

3.2. Loģikas pamatlikumi.

Domāšanas pareizību nosaka loģikas likumi. Tradicionāli ir pieņemts izdalīt četrus loģikas pamatlikumus:

1) identitātes likumu,

2)pretrunas likumu,

3) trešā izslēgtā likumu un

4)pietiekamā pamata likumu.

Identitātes likums nosaka, ka katrai domai un jēdzienam jāsaglabā viens un tas pats noteiktais saturs. Identitātes likums

saka, savā būtībā katram (jebkuram) jēdzienam (pazīmei, attiecībai) ir jābūt vienādai pašai ar sevi. Piemēram, 85 = 85 vai kaķis ir kaķis.

Šī likuma sakarā bieži rodas loģiskās kļūdas, kas rodas jaucot vārda dažādās nozīmes. Piemēram, neievērojot homonīmās nozīmes. (Homonīms ir vārds ar divām nozīmēm, piemēram, vārdam „stūri” viens skaidrojums ir „griez auto stūri pa labi”, otrs skaidrojums „trapecei ir četri stūri”.) Pēc konteksta var noteikt vajadzīgo vārda skaidrojumu. Homonīmus vārdus (vārdkopas) parasti izmanto anekdotēs, vārdu spēlēs un atjautības uzdevumos.

Identitātes likums nosaka, ka stingri jāievēro nozaru terminoloģiju. Svarīga ir arī

runas izteiksmes forma, kas pieļauj dažādus skaidrojumus. Šeit domātas dažādas intonācijas, kas bieži pielietotas ar ironiju. Piemēram, „ir nu gan ārā labais laiciņš”.

Vārdam „labs” ir viena nozīme, bet šajā kontekstā saprotam, ka domāta cita jēga.

Kļūdas rodas arī neprecīzi uzstādītot jautājumus, var iegūt neprecīzas vai nepareizas atbildes. Piemēram, uz jautājumu „cik mēnešiem ir 30 dienu?”. Jautājumu var iztulkot divējādi 1) cik mēnešiem ir tieši un tikai 30 dienas? 2) cik mēnešiem ir vismaz 30 dienas?

Pretrunas likums nosaka, ka spriedums un tā noliegums nevar būt reizē patiesi.

Pretrunas likums ir spēkā, ja runa ir par vienu un to pašu priekšmetu, tajā pašā vietā un tajā pašā attiecībā.

Trešā izslēgtā likums nosaka, ka no diviem pretrunīgiem spriedumiem viens noteikti ir patiess, bet otrs ir aplams, tātad tie

abi reizē nevar būt patiesi un abi reizē nevar būt aplami. Šis likums ir cieši saistīts ar pretrunas likumu. Būtībā trešā izslēgtā likums izriet no pretrunas likuma, un ir tā speciālgadījums attiecībā pret dažiem sprieduma veidiem. Trešā izslēgtā likums darbojas šaurāk nekā pretrunas likums, proti, kad darbojas trešā izslēgtā likums, tad darbojas arī pretrunas likums, bet ne otrādi.

Pietiekamā pamata likums nosaka, ka

katrai patiesai domai jābūt ar pietiekamu pamatu. Pietiekami pamati ir tādi, kuriem eksistējot konkrētais notikums vienmēr notiek. Nepieciešami pamati ir tādi bez kuries notikums nekad nenotiek. Tātad galvenā būtībā ir – patiesai domai jābūt pamatotai ar citām patiesām domām.

Pietiekami ir tādi pamati, kuriem eksistējot konkrētais notikums vienmēr notiek.

Nepieciešami pamati ir tādi, bez kuriem konkrētais notikums nekad nenotiktu.

Jebkurš reāls pamats (nosacījums) vienmēr raksturojams divpusīgi. Tādējādi veidojas trīs reāli darbojošās kombinācijas:

a) pamati ir nepieciešami, bet nav pietiekami. Izskatīsim piemēru: „skaitļa dalīšanās ar 3 bez atlikuma ir nepieciešama, bet nav pietiekama pazīme, lai tas pats skaitlis dalītos ar 6 bez atlikuma”. To var saprast arī tā. Skaitlis, kas nedalās ar 3 nedalās arī ar 6, bet, ja, skaitlis dalās ar 3, tas vēl negarantē, ka šis pats skaitlis dalās arī ar 6. Skaitlis 9 dalās ar 3, bet nedalās ar 6.

b) pamats ir pietiekams, bet nav nepieciešams. Izskatīsim piemēru: „skaitļa dalīšanās ar 6 bez atlikuma ir pietiekama, bet nav nepieciešama pazīme, lai tas pats skaitlis dalītos ar 3 bez atlikuma”. To var saprast arī tā. Skaitlis, kas dalās ar 6, dalās arī ar 3. Bet, ja skaitlis nedalās ar 6, tad droši nevar apgalvot, ka skaitlis nedalās arī ar 3.

c) pamati ir nepieciešami un pietiekami. Izskatīsim piemēru: „skaitļa dalīšanās ar 2 un 3 reizē bez atlikuma ir nepieciešama un pietiekama, lai tas pats skaitlis dalītos arī ar 6 bez atlikuma.” Tas nozīmē, ka, ja skaitlis dalās ar 2 un 3 reizē, tad tas skaitlis noteikti dalīsies arī ar skaitli 6, un otrādi, ja skaitlis nedalās ar 6, tad tas nedalās ar 2 un 3 reizē.

4. Pierādījums.

Def. Pierādījums ir domāšanas process, kurā sprieduma patiesums tiek loģiski pamatots ar citiem patiesiem spriedumiem.

Pierādījums ir noteikta veida slēdziens vai slēdzienu virkne kurš ved no patiesām

premisām uz pierādāmo atzinumu.

Pierāda (pamato) debašu rezolūcijas, tiesu apsūdzības, ģeometrijas teorēmas, zinātnisko darbu hipotēzes.

Daļēju spriedumu patiesumu ir vieglāk pierādīt nekā vispārīgu spriedumu patiesumu, jo to var izdarīt empīriski.

Par pierādījuma argumentiem jeb pierādījuma premisām var izmantot aksiomas, teorēmas, faktus, statistiku, liecības, autoritāšu atzinumus, agrāk pierādītus zinātniskos faktus. Tātad argumenti ir tie, ar ko pierādām jeb līdzekļi, ar kuriem tiek pamatots tēzes patiesums. Argumentiem jābūt patiesiem.

Pierādījuma demonstrācija ir pati pierādīšanas gaita jeb tas kā, kādā veidā pierādām.Ja zināšanas nav pietiekamas un pamatotas, lai pierādītu tēzi, tad tā paliek hipotēzes (versijas) statusā. Hipotēze ir tāds kā starpposms starp jau zināmo un vēl nepierādīto jeb nezināmo. .

Pierādīta hipotēze kļūst par droši ticamu atzinumu.

4.1. Pierādījumu veidi.

Tiešais pierādījums. Tiešā pierādījuma patiesums tiek pamatots ar argumentiem, kuru daudzumam nav būtiskas nozīmes. Piemēram, pierādot, ka 2012. ir garais gads, pietiek ar diviem argumentiem.1) tā kā garais gads ir ik pēc četriem gadiem, tad gadu skaitlim jādalās ar 4 bez atlikuma; 2) 2012. dalās ar 4 bez atlikuma. Tātad ir pierādīts, ka 2012. ir garais gads.

Tiešais pierādījums balstās uz novērojumu un eksperimentu datiem.

Novērošana ir priekšmeta uztvere tā dabiskajā vidē, kas notiek bez novērotāja iejaukšanās parādību norisē. Novērošanas metode dod sākotnējo materiālu, lai uzsāktu pētīšanu kādā no dabaszinātnēm, sociālajās vai humanitārajās zinātnēs.

Eksperiments ir objekta izpēte, mainot procesa norisi atbilstoši eksperimentētāja

uzdevumiem.

Netiešais pierādījums .Viena no metodēm, kā pieveikt pretinieku strīdā, ir uzdot tam jautājumus, lai, atbildot uz tiem, viņš būtu spiest nonākt pie pretrunas vai acīmredzama aplama apgalvojuma, tādā veidā piespiežot atteikties no sākotnējā apgalvojuma.

Apagoģiskā pierādījuma tēzes patiesumu pierāda, pierādot antitēzes aplamību. Šis pierādījuma veids plaši tiek pielietos matemātikā.

Def. Par antitēzi sauc tādu tēzi , kas ir pretrunīga sākotnēji dotajai tēzei.

Apagoģisko pierādījumu mēdz saukt arī par pierādījumu no pretējā. Tātad, pierādot, ka pretrunīgs pieņēmums, antitēze, nav iespējams (neizpildās), varam secināt, ka sākotnējā tēze ir patiesa.

4.2. Kādai jābūt pierādījuma demonstrācijai?

Attiecībā uz pierādījuma demonstrāciju ir tikai viena vispārēja prasība – pierādāmajai tēzei ar loģikas likumiem un kārtulām jāizriet no argumentiem.

Jāievēro,ka

1) no teiktā relatīvā nozīmē nedrīkst secināt par teikto absolūtā nozīmē. Piemēram, pēc apgalvojuma „Jānis prot saskaitīt, atņemt un izdalīt reālu skaitli” nevar secināt, ka „Jānis ir matemātiķis”.

2) no teiktā kopības nozīmē nedrīkst secināt par teikto sadalāmā nozīmē. Citiem vārdiem,sakot, par veselā atsevišķām daļām nedrīkst apgalvot to, kas īstenībā attiecas tikai uz visu veselo. Piemēram, „ja strādnieku brigāde, strādājot kopā, var uzlikt jumtu, tad nevar apgalvot, ka katrs strādnieks atseviški arī var uzlikt jumtu, jo ir tādi darbi, kas veicami vismaz divatā.”

3) no teiktā sadalāmā nozīmē nedrīkst secināt par teikto kopības nozīmē. Citiem vārdiem sakot, par visu veselo nedrīkst apgalvot to, kas taisnība tikai attiecībā uz veselā atsevišķām daļām. Piemēram, pēc apgalvojuma „taisnstūrim un paralelogramam pretējās malas ir paralēlas” nevar secināt, ka „visiem četrstūriem pretējās malas ir paralēlas”.

Pastāv vēl aizliedzošas pamatprasības, kas tiek vērstas pret ārpusloģisko paņēmienu izmantošanu pierādījuma demonstrācijā. Tēzes loģisko pamatojumu nedrīkst aizstāt ar psiholoģisko ietekmi uz klausītāju vai lasītāju jūtām.

.Tēzes loģisko pamatojumu nedrīkst aizstāt ar cilvēka personības pozitīvu vai negatīvu novērtējumu. Piemēram, šāds pamatojums nav korekts „šis cilvēks nevar būt noziedznieks, jo viņam ir sieva un divi bērni”.

Sociālpsiholoģiskie paņēmieni ir paņēmieni, kas iedarbojas uz cilvēka egoismu,

nacionālismu, sociālām un reliģiskām jūtām. Tā bieži ir demagoģija.

Tikumiski psiholoģiskie paņēmieni balstās uz līdzjūtības, cēlsirdības un

uzticības izraisīšanu.

Izzinoši psiholoģiskais paņēmiens, tiek lietots, apzinoties klausītāja (oponenta)

zināšanu trūkumu attiecīgajā jautājumā, tāpēc bieži savus nepierādītos un melīgos argumentus pavada ar šādiem teicieniem: „visiem taču zināms”, „muļķis tikai to nezina”, „zinātne sen jau konstatējusi”, „tas ir vispārzināms fakts”.

5. Matemātiskais pierādījums.

Ikdienā mēs no apkārtējās pasaules uztveram dažādu informāciju un uz tās pamata pieņemam dažādus lēmumus. Lai pārliecinātos par lēmuma pareizumu mēs tam meklējam pamatojumu – izdarām dažādus novērojumus un spriedumus, kas varētu liecināt par vai pret tā pareizumu. Līdzīgi kā ikdienas dzīvē tā arī matemātikā nepieciešams izdarīt spriedumus un apgalvojumus pamatot. Matemātikā noteikta apgalvojuma pamatojumu sauc par pierādījumu.

Matemātiķiem jāspēj argumentēt, ka viņu izteiktais apgalvojums ir pareizs pilnīgi visos gadījumos; pretējā gadījumā šis apgalvojums nav uzskatām par pierādītu.

5.1. Aksioma

Def. Apgalvojumu, kuru pieņem bez pierādījuma, sauc par aksiomu.

Kādai jābūt aksiomu sistēmai:

1) pilnai – tai jāietver visas aksiomas, kuras nepieciešamas aplūkojamajā kursā;

2) bezpretrunīgai – nedrīkst izvēlēties tādu aksiomu sistēmu, no kuras ar loģisku

spriedumu palīdzību var nonākt pie diviem pretrunīgiem apgalvojumiem, kas izslēdz viens otru;

3) neatkarīgai – lai sistēma nesaturētu aksiomas, kuras var pierādīt kā teorēmas izmantojot pārējās aksiomas.

5.2. Teorēma.

Def. Apgalvojumu matemātikā, kura pareizība tiek pamatota ar loģiskiem spriedumiem, lietojot

pamatjēdzienus, definīcijas, aksiomas un loģikas pamatlikumus, sauc par teorēmu.

Minētie spriedumi izveido teorēmas pierādījumu. Teorēmu, kuru pierāda tāpēc, lai ar tās palīdzību vēlāk pieradītu citu teorēmu sauc par lemmu vai palīgteorēmu.

Skolas kursā teorēmas bieži nosauc par īpašībām; formulu un īpašību pierādījumi faktiski ir teorēmu pierādījumi.

Matemātikā teorēmu formulēšanā un pierādīšanā plaši izmanto tādus nosacījumus, kas ir:

pietiekami, bet nav nepieciešami; nepieciešami, bet nav pietiekami; pietiekamus un nepieciešamus. Salīdzinot savā starpā dažādas teorēmas, dažreiz var konstatēt noteiktu sakarību starp tām.

Pieņemsim, ka viena teorēma ir formulēta šādi: „ja ir dots A, tad pastāv (izpildās) B”, bet otra

teorēma ir : „ja ir dots B, tad pastāv (izpildās) A”. Šādā gadījumā vienu no šīm teorēmām sauc par tiešo teorēmu, otru par apgriezto teorēmu. Piemēram, dota teorēma: „ja paralelograms ir rombs, tad tā diagonāles ir perpendikulāras”, tai apgrieztā teorēma skan; „ja paralelograma diagonāles ir perpendikulāras, tad tas ir rombs”. Ne visām teorēmām var uzrakstīt pareizu apgriezto teorēmu. Šai teorēmai apgrieztā teorēma nebūs pareiza: „ja četrstūris

ir rombs, tad tā diagonāles ir perpendikulāras”. Šajā gadījumā apgrieztā teorēma skan: „ja četrstūra diagonāles ir perpendikulāras, tad tas ir rombs”. Redzam, ka spriedums nav matemātiski pareizs.

Divu teorēmu starpā var pastāvēt arī cita veida sakarības.

5.3. Pierādīšana.

Lai teorēmu pierādītu, vispirms pareizi un precīzi jāsaprot tās formulējums. Nereti

teorēmu ērtāk pierādīt nevis dotajā formulējumā, bet kādā citā, pēc satura ekvivalentā formulējuma variantā.

Bieži teorēmas tiek formulētas kā implikācijas, jeb ar „ja..., tad” palīdzību. Piemēram: „ja abi saskaitāmie ir pārskaitļi, tad summa ir pārskaitlis.”

Dažreiz teorēmas formulējumā nav atrodami vārdi „ja- tad”. Teorēmu vienmēr var

pārfrāzēt tā, lai šie vārdi parādītos. Tā, piemēram, Pitagora teorēmas formulējumu „taisnleņķa trīsstūrī katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu” var formulēt arī šādu: „ja trīsstūra viens leņķis ir taisns, tad tā katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu.”

Ir vairāki veidi kā var pierādīt, ka kāda pazīme izpildās visiem klases elementiem:

a) var pārbaudīt katru elementu atsevišķi. Šī metode ir lietderīga, ja pārbaudāmo elementu skaits ir mazs. Piemēram, „cik no šādi pierakstītiem 2n-1 skaitļiem ir pirmskaitļi, ja n<7, n -vesels”, tātad var uzrakstīt 7 izteiksmes un katru izpētīt, tādā veidā noskaidrojot vai starp šiem skaitļiem ir kāds pirmskaitlis vai nav. Savukārt, ja 2n-1 jāpārbauda visiem reāliem n, tad

pārbaudīt katru elementu nav lietderīgi un tas nemaz nav iespējams;

b) var sadalīt elementus sev izdevīgās grupās un tad pierādīt pa grupām apgalvojumu. Ja visām grupām dotais apgalvojums ir spēkā, tad pierādījums attiecas uz visiem klases elementiem.

„vai eksistē tāds skaitlis, kura kvadrāts beidzas ar ciparu 2?” visus skaitļus var sadalīt 10 grupās, proti, tie, kas beidzas ar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Atliek pārbaudīt visas 10 grupas. Tātad, ja naturāls skaitlis beidzas ar ciparu 1, tad tā kvadrāts arī beidzas ar ciparu 1. Skaitlis, kurš beidzas 2, tā kvadrāts

beigsies ar 4. un tādā veidā pārbauda visas 10 grupas. Redzam, ka nevienā no gadījumiem skaitļa kvadrāts nebeidzas ar 2. Šādi sagrupējot visus skaitļus10 grupās esam pierādījuši, ka starp naturāliem skaitļiem nav neviena tāda, kura kvadrāts beigtos ar ciparu 2 ( kaut gan tieši visus skaitļus neesam aplūkojuši) ;

c) pierādīt apgalvojuma patiesumu viesiem klases elementiem uzreiz. Piemēram, „kubam visas skaldnes vienādas” zinot to, ka kubam ir sešas skaldnes. Skaldnes ir kvadrāti. Kvadrātam visas malas vienādas, tad arī kubam visa skaldnes vienādas. Pierādīšanai izmantotas īpašības un pazīmes, kas ir spēkā pilnīgi visiem kubiem.

Svarīgi ir , lai, pierādot „katram” – tipa apgalvojumu, būtu pierādīti pilnīgi visi atsevišķie apgalvojumi, no kuriem tas sastāv: nav svarīgi, vai tie pierādīti katrs atsevišķi, sadalot pa grupām, vai visi reizē.

Eksistences apgalvojumi jeb „eksistē” – tipa apgalvojumi. Šie apgalvojumi izsaka

pazīmi, kas piemīt vismaz vienam no klases elementiem, bet tikpat labi šī pazīme var izpildīties vairākiem vai pat visiem klases elementiem. Piemēram, „eksistē tāds naturāls divciparu skaitlis, kas dalās ar 7”. Uzreiz iedomājamies, ka 14 dalās ar 7 , arī 21 dalās ar 7, varbūt vēl ir kāds tāds skaitlis, bet tagad mēs varam droši teikt, ka vismaz viens tāds ir.

.Eksistences apgalvojuma pierādīšanai pietiek atrast vienu atbilstošu elementu, kas apmierina doto pazīmi. Netiek prasīts uzrādīt cik un vai vispār ir vēl tādi elementi, kas apmierina

doto pazīmi.

Matemātikā pierādījumi no pretējā jeb apagoģiskie pierādījumi līdzīgi kā klasiskajā loģikā balstās uz trešā izslēgtā likumu: katram apgalvojumam ir spēkā vai nu pats apgalvojums, vai tā noliegums.