Spriedumi un pierādījumi. Teorija.

Def. Apgalvojumu matemātikā, kura pareizība tiek pamatota ar loģiskiem spriedumiem, lietojot

pamatjēdzienus, definīcijas, aksiomas un loģikas pamatlikumus, sauc par teorēmu.

Minētie spriedumi izveido teorēmas pierādījumu. Teorēmu, kuru pierāda tāpēc, lai ar tās palīdzību vēlāk pieradītu citu teorēmu sauc par lemmu vai palīgteorēmu.

Skolas kursā teorēmas bieži nosauc par īpašībām; formulu un īpašību pierādījumi faktiski ir teorēmu pierādījumi.

Matemātikā teorēmu formulēšanā un pierādīšanā plaši izmanto tādus nosacījumus, kas ir:

pietiekami, bet nav nepieciešami; nepieciešami, bet nav pietiekami; pietiekamus un nepieciešamus. Salīdzinot savā starpā dažādas teorēmas, dažreiz var konstatēt noteiktu sakarību starp tām.

Pieņemsim, ka viena teorēma ir formulēta šādi: „ja ir dots A, tad pastāv (izpildās) B”, bet otra

teorēma ir : „ja ir dots B, tad pastāv (izpildās) A”. Šādā gadījumā vienu no šīm teorēmām sauc par tiešo teorēmu, otru par apgriezto teorēmu. Piemēram, dota teorēma: „ja paralelograms ir rombs, tad tā diagonāles ir perpendikulāras”, tai apgrieztā teorēma skan; „ja paralelograma diagonāles ir perpendikulāras, tad tas ir rombs”. Ne visām teorēmām var uzrakstīt pareizu apgriezto teorēmu. Šai teorēmai apgrieztā teorēma nebūs pareiza: „ja četrstūris

ir rombs, tad tā diagonāles ir perpendikulāras”. Šajā gadījumā apgrieztā teorēma skan: „ja četrstūra diagonāles ir perpendikulāras, tad tas ir rombs”. Redzam, ka spriedums nav matemātiski pareizs.

Divu teorēmu starpā var pastāvēt arī cita veida sakarības.