Pārsteidzošās figūras - trijstūri un leņķi. Skolotāja atbalsta materiāls

1.uzdevums.

Veicot uzdevumu, skolēni:

1)      noskaidro, ko nozīmē pagrieziena leņķis;

2)      zīmē pozitīvus un negatīvus pagrieziena leņķus, izmantojot vienības riņķa līniju.

Ieteikumi skolotājam

• Stundas sākumā vai iepriekš mājās skolēniem jāatkārto par leņķiem un to veidiem. Var izmantot PowerPoint prezentāciju „Leņķu veidi”.
• Demonstrēt skolēniem pagrieziena leņķus animācijā (Projekta piedāvātajos VM skolotājam (www.dzm.lv ): M_10_UP_04_VM1) un veikt uzdevumu individuāli, iegūtos rezultātus pārrunāt.

Vizuālais materiāls demonstrēšanai skolēniem

Vēro pagrieziena leņķus animācijā un nosaki:

a)      visus tos pagrieziena leņķus , kuri atbilst leņķim AOP₃,

b)      kādi pagrieziena leņķi atbilst leņķiem AOP₂ un AOP₁,

c)      kāda sakarība pastāv starp pozitīvā un negatīvā pagrieziena leņķu skaitliskajām vērtībām noteiktam kustīgajam staram,

d)      attēlo dotos pagrieziena leņķus!

 , , , .

2.uzdevums.

Veicot uzdevumu, skolēni:

1) iegūst sakarības trigonometrisko funkciju vērtību zīmēm vienības riņķī;

2) formulē secinājumu.

Sadala klasi 4 grupās. Katra grupa, vērojot animāciju (M_10_UP_04_VM2 www.dzm.lv), seko līdzi vienai no trigonometriskajām funkcijām un vēro, kā mainās šīs funkcijas vērtību zīmes atkarībā no tā, kurā kvadrantā atrodas pagrieziena leņķis. Katrs individuāli pieraksta savus vērojumus un kopīgi ar citiem savas grupas skolēniem formulē secinājumus par doto funkciju.

Izmantojot iegūtās sakarības, skolotājs piedāvā uzdevumus no uzdevumu krājumiem, kuros jānosaka trigonometrisko funkciju vērtības, izmantojot vienības riņķi.

3. uzdevums.

Veicot uzdevumu, skolēni:

1)      nosaka leņķu lielumus, ja zināmas to trigonometrisko funkciju vērtības, izmantojot kalkulatoru vai datoru;

2)      konstruē leņķus vienības riņķī, ja zināmas to trigonometriskās vērtības.

Skolēni

• individuāli ir iepazinušies ar animāciju (M_10_UP_04_VM3 www.dzm.lv), kurā tiek konstruēti pagrieziena leņķi, kuriem  (var būt bijis mājas darbs).
• pāros viens otram vēlreiz nodemonstrē un izstāsta (kopīgi izrunā), kā notika leņķa konstruēšana (neizmanto animāciju, bet paši veido zīmējumu un saviem vārdiem stāsta un skaidro).
• uzdevums individuāli.

Konstruēt pagrieziena leņķusvienības riņķī, ja zināmas to trigonometriskās vērtības

a) ;

b) !

Vizuālais materiāls demonstrēšanai skolēniem

Konstruēt pagrieziena leņķusvienības riņķī, ja zināmas to trigonometriskās vērtības

a)

b)

4.uzdevums. (4.stunda)

Veicot uzdevumu, skolēni:

iegūst sinusu teorēmu, pierādot to.

Skat. Darba lapu skolēniem „Sinusu teorēma”

5.uzdevums (4.stunda).

Veicot uzdevumu, skolēni:

iegūst kosinusa teorēmu, pierādot to.

Skat. Darba lapu skolēniem „Kosinusa teorēma”.

(Mājās skolēniem var piedāvāt pierādīt kosinusa teorēmu abām pārējām malām, paskaidrojot, kā to var izdarīt.)

6.uzdevums (4.stunda).

Veicot uzdevumu, skolēni:

1) plāno risinājuma gaitu, izmantojot sinusu un kosinusa teorēmas;

2) iegūst sakarību trīsstūra leņķu aprēķināšanai, ja zināmas tā 3 malas;

3) iegūst prasmi noteikt trīsstūra veidu, izmantojot kosinusa teorēmu.

Ieteikumi skolotājam

• Skolēniem jāatkārto, pēc kādām pazīmēm trīsstūrus iedala un kādi veidi pastāv. Var izmantot PowerPoint prezentāciju „Trijstūru veidi”.
• Pēc plāna sastādīšanas skolēni iepazīstina pārējos ar savu plānu, izvēlas racionālāko/ efektīvāko paņēmienu.
• var piedāvāt katram skolēnu pārim citus malu garumus. Piedāvājot dažādus trijstūrus, ir iespēja pārliecināties, ka kosinusu teorēmu ir vienkārši un ērti izmantot trijstūra veida noteikšanai (veidojas pozitīvas, negatīvas un ar 0 vienādas kosinusu vērtības).

Vizuālais materiāls demonstrēšanai skolēniem

Uzraksti plānu, kā noteikt trijstūra veidu, ja zināmi tā malu garumi!

Nosaki dotā trijstūra veidu, ja zināmi tā trīs malu garumi!

a) 22cm, 13cm, 10cm;

b) 3cm, 7cm, cm;

c) 17cm, 7cm, 11cm;

d) 6cm, cm, 11cm;

e) 13cm, 14cm, 13cm;

f) 12cm, 14cm, 26cm;

g) 15cm, 17cm, 8cm.

Darba lapa skolēnam

Sinusu teorēma

Dots trijstūris ABC, kura malu garumi ir a, b, c un leņķu lielumi ir A, B un C. (sk.zīm.)

1)      Izsaki trijstūra ABC laukumu 3 dažādos veidos, izmantojot divas malas un leņķi starp tām!

S = ½ bc sinA

S = ... ... ... sin B

S = .....................

2)      Salīdzini, kādas savstarpēji ir šīs izteiksmes!

Tātad

½ bc sinA                 ... ... ... sin B                  .....................

3)      Izdali šajā vienādībā katru izteiksmi ar ½ !

4)      Izdali šajā vienādībā katru izteiksmi ar reizinājumu abc (apdomā, vai tā drīkst dalīt un kāpēc) un daļas saīsini, cik iespējams!

                                                             ...................

Saīsinot:

5)      Vienādība ir patiesa arī apgrieztajiem lielumiem, t.i.,

Esam ieguvuši sinusu teorēmu:

Jebkura trijstūra malas ir proporcionālas šo malu pretleņķu sinusiem.

Darba lapa skolēnam

Kosinusa teorēma

Dots trijstūris ABC, kura malu garumi ir a, b, c un leņķu lielumi ir A, B un C. BD ir trijstūra augstums h pret malu AC. (sk.zīm.)

1)      Novelkot augstumu BD, izveidojas divi trijstūri: ∆ABD un ∆DBC.

Kāda veida trijstūri tie ir?

2)      ∆ABD pēc Pitagora teorēmas:

c² =

3)      ∆DBC pēc Pitagora teorēmas:

a² =

4)      No abām izteiksmēm izsaki h²:

No 2) izteiksmes

h² = c² – c_b²

No 3) izteiksmes

h² =

5)      Kādas savstarpēji ir šīs izteiksmes?

Tātad iegūstam sakarību:

6)      Uzmanīgi apskati trijstūra malu AC!

Ievēroji, ka

a_b + c_b = .....

Izsaki no šīs sakarības c_b:

c_{b = ...............................}

7)      Aizstāj 5) punktā uzrakstītajā izteiksmē c_b ar iegūto izteiksmi

8)      Atver iekavas

9)      Savelc līdzīgos locekļus

10)  Izsaki c²:

11)  Atlicis tikt galā ar lielumu a_b. Izmantojot sakarības taisnleņķa ∆DBC, izsaki cos C!

Tad      a_b = ....

12)  Aizvietojot a_b ar iegūto izteiksmi, nonākam pie sakarības:

Esam ieguvuši kosinusa teorēmu:

Jebkura trijstūra malas kvadrāts vienāds ar divu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemts šo malu divkāršots reizinājums ar ietvertā leņķa kosinusu.

7.uzdevums.

Veicot uzdevumu, skolēni:

1) aprēķina trijstūra elementus;

2) izmanto IT iespējas (Geonext programmu) ģeometrijas zīmējumu veidošanā;

3) atrod uzziņas literatūrā vajadzīgās formulas.

Ieteikumi skolotājam darbam ar Geonext failiem 4.1. – 4.4.

· Var izveidot katram skolēnam individuālu uzdevumu, kā arī ir iespēja salīdzināt rezultātus gan skolēniem pašiem, gan skolotājam – atbildes parādās ar attiecīgajiem lielumiem blakus attēlā.

· Uzdevumu skaitu skolēniem var piedāvāt atkarībā no skolēnu spējām un darba tempa, kā arī prasmēm lietot IT.

· Ja nav iespējas skolēniem strādāt pie datoriem, sagatavotos uzdevumus var izdrukāt un risināt darba lapās.

· Ja skolotāja mērķis ir stundā vairāk uzmanības veltīt taisnleņķa trijstūra elementu aprēķināšanai, tad atkārtojumam var izmantot PowerPoint prezentāciju „Taisnleņķa trijstūris un tā elementu aprēķināšana”.

Uzdevums skolēnam. Aprēķināt pārējās trijstūra malas, leņķus un trijstūra laukumu.

• T-4.1.gxt. Dots trijstūris un zināma tā mala un divi pieleņķi.
• T-4.2.gxt. Dots trijstūris un zināmas tā divas malas un leņķis starp tām.
• T-4.3.gxt. Dots trijstūris un zināmas tā malas.
• T-4.4.gxt. Dots trijstūris un zināmas tā divas malas un pretleņķis.

Uzdevums skolēnam: Konstruēt trijstūrī ievilktās (ap trijstūri apvilktās) riņķa līnijas centru, aprēķināt tās rādiusu.

• T-8.1.gxt Dots trijstūris un zināma tā mala un divi pieleņķi.
• T-8.2.gxt. Dots trijstūris un zināmas tā divas malas un leņķis starp tām.
• T-8.3.gxt. Dots trijstūris un zināmas tā malas.
• T-8.4.gxt. Dots trijstūris un zināmas tā divas malas un pretleņķis.

Uzdevums skolēnam: Papildināt zīmējumu ar bisektrisēm, mediānām, augstumiem, izmantojot programmas Geonext darbarīkus.

8.uzdevums.

Veicot uzdevumu, skolēni:

1)      veido uzdevuma nosacījumiem atbilstošu zīmējumu;

2)      pamato savu spriedumu.

Vizuālais materiāls demonstrēšanai skolēniem

Trijstūra divu malu garumi ir 6 cm un 7 cm.

·       Izveido uzdevumam atbilstošu zīmējumu!

·       Vai leņķis, kas atrodas pret 6 cm garo malu, var būt plats? Atbildi pamato!

9.uzdevums.

Veicot uzdevumu, skolēni:

1)      veido uzdevuma nosacījumiem atbilstošu zīmējumu;

2)      aprēķina trīsstūra laukumu un malas.

Skat.darba lapu skolēniem „Pilsētas labiekārtošana”.

Ieteikumi skolotājam:

• Piedāvāt skolēniem darbu veikt pāros.
• Mājās uzdot grupām veikt kādu labiekārtošanas darba projektu un aprēķinus teritorijai, kas atrodas skolas apkārtnē vai pilsētā.

Darba lapa skolēnam

Pilsētas labiekārtošana

Pilsētas dome nolēma veikt pilsētas zaļās zonas labiekārtošanu un uzdeva jaunajam pilsētas arhitektam veikt pārveidei nepieciešamos aprēķinus un konstrukcijas, lai pārveidotu ceļa sazarojumā esošo zālāju. Tā pašreizējais izvietojums trīsstūra ABC formā (skat.zīm.), kura malu garumi AB = 53,9m un AC = 34,6m, neapmierināja pilsētas iedzīvotājus. Jaunais būvnieks piedāvāja savu projektu, kurā ieteica pārveidot zālāju par tādu trīsstūrveida apgabalu A₁B₁C₁, kuram attālumi A₁B₁ un A₁C₁ ir vienādi, tomēr trīsstūrveida apgabala laukums nemainītos.

Zīmējumā ir attēlots ielu krustojums, kurā galvenā iela sazarojas, un zālājs.

a)      Kuri trīsstūra elementi (neskaitot laukumu) paliks nemainīgi?

b)      Uzzīmē zīmējumu, kā izskatīsies ceļu krustojums un zaļā zonā pēc pārveides, iezīmē trīsstūri A₁B₁C₁!

c)      Uzraksti izteiksmes trīsstūra laukuma aprēķināšanai pirms un pēc pārveides!

d)     Aprēķini, cik garas būs jaunā trīsstūra apgabala A₁B₁C₁ malas A₁B₁ un A₁C₁.

10.uzdevums.

Veicot uzdevumu, skolēni:

1)      saista matemātikas zināšanas un prasmes par sakarībām trijstūros ar praktiskiem mērījumiem dabā;

2)      plāno savu darbību praktiskas problēmas atrisināšanai;

3)      sadarbojas, veicot praktisko darbu dabā;

4)      prezentē darba rezultātus;

5)      novērtē un izdara secinājumus par praktiskajā darbā iegūtajiem rezultātiem;

6)      lieto dažādas garuma mērvienības un noskaidro attiecības starp tām.

Skat. Darba lapu skolēnam „Pārsteidzošais trīsstūris – palīgs mērījumos”.

Ieteikumi skolotājam:

·         Izvēlieties reālus skolas apkārtnē esošus objektus.

·         Daliet skolēnus grupās tā, lai būtu izmērīts gan augstums, gan attālums.

·         Varat skolēniem pašiem ļaut padomāt, kā izgatavot palīgierīci mērīšanai, izmantojot dotos resursus (tādā gadījumā darba lapā nerakstiet mērītāja izgatavošanas aprakstu).

·         Piedāvājiet mērītājus izgatavot skolēniem pašiem, parādot, ka tas ir vienkārši un iespējams izmantot vienkāršus līdzekļus (dēlīša vietā var būt jebkura cita taisna virsma), kā ar4ī to, ka nedaudz atjautības un matemātikas zināšanas var pielietot praktisku problēmu risināšanai.

·         Svarīgi ir skolēniem likt izveidot matemātisko modeli un pamatot, kas un kāpēc viņiem būs jāmēra, kādas matemātiskās likumsakarības viņi izmantos.

·         Dažādām skolēnu grupām var piedāvāt veikt mērījumus vai nu metros, vai pēdās, vai vēl izmantojot citas garuma mērvienības. Tādā gadījumā var turpināt sarunu par mērvienībām, kādas ir to attiecības, kādas mērvienības ir lietderīgāk izmantot un kāpēc.

·         Stundas beigās pievērsiet vēlreiz skolēnu uzmanību tam, ka abus mērījumus veica, izmantojot vienāda veida trīsstūri. Varat aicināt skolēnus izteikt priekšlikumus, kā vēl varētu izmērīt dabā augstumu un attālumu, ja nav pieejami moderni mērītāji vai citas tehnoloģijas.

Mērītāja izgatavošana

Lai izgatavotu mērītāju, Jums dēlītī jāiedzen nagliņas tā, lai tās atrastos vienādsānu taisnleņķa trijstūra virsotnēs (skat.zīm.).

Ja Jūsu rīcībā nav uzstūra taisnā leņķa mērīšanai un cirkuļa vai lineāla vienādo malu atlikšanai, Jūs varat izmantot vienkāršu papīru. Pārlokiet papīru uz pusēm, tad vēlreiz, lai locījuma vieta sakristu, tad atlokot papīru vaļā, Jūs locījuma vietā iegūsiet taisno leņķi. To pašu papīru varat izmantot arī vienādo sānu malu atlikšanai.

Zīm. Mērītājs

Var papildināt Mērītāju ar diegu un atsvaru augstuma mērīšanai, piestiprinot to punktā A. Tas dos iespēju veikt precīzāku mērījumu, novietojot mērītāja malu AB perpendikulāri zemei.

Darba lapa skolēnam

Pārsteidzošais trīsstūris – palīgs mērījumos

Pētniecisks darbs

1.grupa

Situācijas apraksts

Šodien jums ir īpašs uzdevums – noskaidrot pie skolas augošā koka augstumu, bet Jūsu rīcībā ir tikai dēlītis un 3 nagliņas.

Darba plānošana.

Uzrakstiet, kā Jūs rīkosieties, lai noteiktu koka augstumu, izmantojot pašu izgatavoto mērītāju.

Matemātiskais pamatojums.

Kā Jūs, izmantojot matemātiskas likumsakarības, pamatosiet sava mērījuma pareizību?

Un tagad dodieties veikt mērījumus!

Pierakstiet nepieciešamos mērījumus!

Koka augstums ir

Secinājumi par darbu un mērījuma precizitāti.

Darba lapa skolēnam

Pārsteidzošais trīsstūris – palīgs mērījumos

Pētniecisks darbs

2.grupa

Situācijas apraksts.

Šodien jums ir īpašs uzdevums – noskaidrot attālumu no skolas līdz kādam objektam (pēc skolotāja izvēles kāda konkrēta vieta vai objekts, kas atrodas tik tālu, ka tiešā veidā izmērīt attālumu ir pietiekami sarežģīti - attālums līdz ezera, upes otram krastam vai kāds attāls objekts), bet Jūsu rīcībā ir tikai dēlītis un 3 nagliņas.

Darba plānošana.

Uzrakstiet, kā Jūs rīkosieties, lai noteiktu attālumu, izmantojot pašu izgatavoto mērītāju.

Matemātiskais pamatojums.

Kā Jūs, izmantojot matemātiskas likumsakarības, pamatosiet sava mērījuma pareizību?

Un tagad dodieties veikt mērījumus!

Pierakstiet nepieciešamos mērījumus!

Attālums ir

Secinājumi par darbu un mērījuma precizitāti.